Um cone reto, maciço e homogêneo cujo raio da base é R e altura H, exerce força gravitacional sobre uma massa puntiforme m. Determine o valor desta força, sabendo que a massa está posicionada sobre o vértice do cone. Trabalhe em coordenadas cilíndricas e indique (através de uma figura) os versores correspondentes às direções cartesianas, bem como a origem de seu sistema de coordenadas.
Solução:
Considerando o eixo de coordenadas como o da figura acima e sabendo que o quadrado da distância de uma massa infinitesimal $\mathrm{d}M$ dentro do cone até a origem do sistema vale $r^{2} + z^{2}$, podemos dizer que a força aplicada sobre a massa m no vértice do cone é: $$\vec{F} = \int \frac{Gm}{r^{2} + z^{2}} [\hat{z} cos{\alpha} + \hat{r} sen{\alpha}] \mathrm{d}M$$ Onde $\alpha$ é o ângulo formado entre o eixo do cone e o vetor que une o vértice a $\mathrm{d}M$. Note, então, que a componente em $\hat{r}$ deve se anular devido à simetria do cone. Chamando a densidade do cone de $\rho$, vem que: $$ \vec{F} = Gm\rho \int_{0}^{H} \int_{0}^{\frac{zR}{H}} \int _{0}^{2\pi} \frac{1}{r^{2} + z^{2}} [\hat{z} cos{\alpha}] r\mathrm{d}\theta \mathrm{d} r\mathrm{d}z $$ $$ \vec{F} = Gm\rho2\pi \int_{0}^{H} \int_{0}^{\frac{zR}{H}} \frac{r}{r^{2} + z^{2}} [\hat{z} cos{\alpha}] \mathrm{d} r\mathrm{d}z $$ $$ \vec{F} = [ Gm\rho2\pi \int_{0}^{H} \int_{0}^{\frac{zR}{H}} \frac{r}{r^{2} + z^{2}} \frac{z}{ \sqrt{r^{2} + z^{2}} } \mathrm{d} r\mathrm{d}z ] \hat{z} $$ $$ \vec{F} = [ Gm\rho2\pi \int_{0}^{H} \int_{0}^{\frac{zR}{H}} \frac{rz}{(r^{2} + z^{2})^{3/2}} \mathrm{d} r\mathrm{d}z ] \hat{z} $$ $$ \vec{F} = [ Gm\rho2\pi \int_{0}^{H} \frac{\sqrt{R^{2} + H^{2}} - H}{\sqrt{R^2 + H^2}}\mathrm{d}z ] \hat{z} $$ como $ \rho = \frac{3 M}{\pi R^2 H} $ temos $$ \vec{F} = [ 6 G M m \frac{1}{R^2} \frac{\sqrt{R^{2} + H^{2}} - H}{\sqrt{R^2 + H^2}}] \hat{z} $$ Questão 2:
Prove a validade da 2a Lei de Kepler (lei das áreas) para forças centrais.
Solução:
Na figura acima, estamos considerando um deslocamento de uma partícula de massa $m$ (posição dada pelo vetor $\vec{r}$) na qual age uma força central durante um instante $\mathrm{d}t$ infinitesimal. Podemos perceber facilmente que a força central não produz torque e, portanto, o momento angular da partícula se conserva, ou seja: $$m r^{2} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} = k$$ , onde k é uma constante.
Também percebemos pela figura que a área percorrida no instante $\mathrm{d}t$ vale: $$\mathrm{d}A = \frac{r^{2}\mathrm{d} \theta}{2}$$ Assim, a área percorrida por unidade de tempo vale sempre $$\frac {\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{r^{2}}{2}\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t} = \frac{k}{2m}$$ O que nos leva à conclusão de que a quantidade de área "varrida" pelo vetor $\vec{r}$ é sempre a mesma para variações de tempo semelhantes, isto é, vale a 2ª lei de Kepler.
Questão 3:
Prove a validade da 3a Lei de Kepler (lei dos períodos) para forças centrais.
Solução:
Considerando as relações da elipse:
$$ \frac b a = \sqrt{1 - e^2} \therefore e^2 = 1 - (\frac{b}{a})^2 \;\;\;\;\; (I)$$ onde $a$ e $b$ são os semi-eixos e $e$ é a excentricidade da elipse
sabemos também que a velocidade areolar é dada por: $$ V_{areolar} = \frac{L}{ 2 m}$$ onde $L$ é o momento angular de uma partícula de massa $m$ que está na órbita elíptica
e sabemos que a excentricidade pode ser obtida também pela gravitação $$ e = \sqrt{1 - \frac{L^2}{GMm^2a}} \therefore e^2 = 1 - \frac{L^2}{GMm^2a} \;\;\;\;\;\;\; (II) $$ ainda, temos que o período T é dado por $$ T = \pi a b \frac{1}{V_{areolar}} \therefore T = \pi a b \frac{2 m}{L} $$ $$ \therefore L = \pi a b \frac{2 m}{T} \;\;\;\;\;\; (III)$$ Fazendo $(I)=(II)$ $$1 - (\frac{b}{a})^2 = 1 - \frac{L^2}{GMm^2a} $$ Substituindo $(III)$ na equação acima temos $$ \frac{4m^2 \pi ^2 a^2 b^2 }{T^2 GMm^2} = \frac{b^2}{a} $$ $$\rightarrow \frac{T^2}{a^3} = \frac{4 \pi ^2}{GM} = cte $$ O que nos mostra que é válida a terceira lei de Kepler.
Questão Extra
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