Semana 12

Questão 1) O que é o Almagesto?

ALMAGESTO

Almagesto é uma palavra árabe que significa "o maior" e é o nome de um tratado de astronomia escrito no século II pelo astrônomo Claudius Ptolomaeus de Alexandria, Egito. A obra, uma coleção de 13 livros, contém o mais completo catálogo de estrelas da antiguidade e foi utilizado amplamente pelos árabes e europeus até a alta Idade Média. Tinha o título original de "A Coleção Matemática", no entanto, ficou conhecida por "O Grande Astrônomo", de onde vem o seu título final.

O Almagesto constituiu uma espécie de "bíblia" astronômica para os 1400 anos seguintes a ele. Apresenta e desenvolve argumentos a favor da teoria geocêntrica do universo e apresenta também os resultados obtidos pelos astrônomos gregos da Antiguidade, além de ser a principal fonte de conhecimento a respeito do trabalho de Hiparco, considerado o maior astrônomo da Antiga Grécia - em seu catálogo estelar, Hiparco determinou a posição de 850 estrelas. Coube a Ptolomeu dar continuidade a esse trabalho (aproximadamente 250 anos depois), e nesse trabalho Ptolomeu registrou 1022 estrelas, das quais 172 ele próprio descobriu.

A obra Almagesto explica também a construção do astrolábio, instrumento inventado por Ptolomeu para calcular a altura de um corpo celeste acima da linha do horizonte, e a parte final é dedicada aos planetas, que constitui a contribuição mais original do autor à astronomia.

Ptolomeu preparou também um calendário no qual dava a hora em que as várias estrelas apareciam e desapareciam no céu, no alvorecer e no crepúsculo. Esse trabalho faz parte de uma obra em dois volumes, denominada "Hipóteses Planetárias", que foi outra obra de grande valor. Ele escreveu livros de forma que um leitor com menos conhecimentos matemáticos fosse capaz de assimilar algumas ideias fundamentais, da mesma forma que se procura fazer hoje em dia.

Como citamos, o Almagesto é composto por 13 livros, e abaixo está descrito o que cada um deles contém:

·         Primeiro livro: Ptolomeu defende neste livro, em linhas gerais, a teoria geocêntrica, expondo suas ideias   para defender sua teoria;

·         Segundo livro: Contém uma tabela de cordas e rudimentos de trigonometria esférica; 

·         Terceiro livro: Fala a respeito do movimento do Sol e da duração do ano; 

·         Quarto livro: Trata do movimento da lua e da duração dos meses; 

·         Quinto livro: Abrange as mesmas questões tratadas no quarto, acrescentando as distâncias do Sol e da Lua, além de descrever o astrolábio; 

·         Sexto livro: Trata de questões dos eclipses do sol e da lua, contém também uma tabela desses acontecimentos, além de uma outra tabela de conjunções e aposições dos planetas; 

·         Sétimo e oitavo livro: Trazem um catálogo de 1022 estrelas, a grande maioria já havia sido descrita por Hiparco; Ptolomeu deu continuidades ao trabalho desse último; 

·         Cinco últimos livros: São dedicados exclusivamente à exposição detalhada de sua teoria geocêntrica, mostrando as bases que fundamentaram e sustentam suas descrições e observações.

Questão 2) Enuncie a Lei de Gauss da Gravitação

A LEI DE GAUSS DA GRAVITAÇÃO

                A "Lei de Gauss" é bem conhecida por quase todo estudante de ciências exatas. Em palavras, ela diz que "o fluxo de linhas de campo através de uma superfície fechada é proporcional à carga (ou massa) dentro dessa superfície." Escrevemos carga ou massa pois a Lei de Gauss serve tanto para o campo elétrico quanto para o campo gravitacional. O que pouca gente sabe é que essa ideia de Gauss resolveu um enigma que atormentou Newton por vários anos.
                A questão era a seguinte:

                Imagine um aglomerado esférico de pequenas massas, todas iguais, a uma certa distância de outra massa pequena M. É claro que a massa M sofrerá a atração gravitacional das massinhas do aglomerado esférico. Agora, suponha que o aglomerado esférico se expanda uniformemente, aumentando de raio. Algumas massas se aproximam de M e outras se afastam. A pergunta é: com essa expansão a força gravitacional sobre M aumenta, diminui ou fica constante? A resposta correta é: fica constante. Newton sabia disso mas não sabia como provar de forma simples e convincente. Gauss, com sua lei, mostrou que é fácil provar essa afirmação.
                Vamos, por simplicidade, traçar linhas de campo saindo de cada massa do aglomerado como retas radiais, como na figura abaixo, (A). Consideremos uma superfície esférica S, imaginária, passando pela massa M. Essa é a chamada "superfície de Gauss". A força sobre M depende do número de linhas que atravessa S (o "fluxo").

               

                Ora, esse número é o mesmo, antes ou depois do aglomerado se expandir (B). Logo, a força sobre M não muda com a expansão.

                De forma mais quantitativa, temos , para o fluxo do campo gravitacional, que

                De onde temos o resultado que relaciona o fluxo de    com a massa total M no interior da superfície

                No caso de uma distribuição esfericamente simétrica, podemos escrever, usando argumento de simetria, que

       É válido, aqui, que façamos uma importante observação sobre a relação da lei de Gauss da gravitação com a lei de Gauss da eletrostática. Nesta última, o campo gravitacional dá lugar ao campo elétrico, a massa à carga elétrica e a constante que multiplica o termo à direita é adaptada para o caso da eletrostática. A equação é perfeitamente análoga:

 

     Percebemos, todavia, que o campo elétrico pode apontar no sentido que leva para a carga central ou no sentido contrário. Isso será determinado pelo sinal da carga que provoca o campo.

Referências:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Almagesto
http://www.ghtc.usp.br/server/Sites-HF/Geraldo/almagesto.htm
http://www.searadaciencia.ufc.br/especiais/matematica/eulergauss/eulergauss6.htm
http://efisica.if.usp.br/mecanica/avancado/gravitacao/lei_gauss/

Questão 3: Reescreva a equação da elipse de coordenadas polares para coordenadas cartesianas

Equação da elipse em coordenadas polares:
$$\rho =\frac{p}{1+\varepsilon cos\theta }$$

Sejam:
2a = eixo maior da elipse
2b = eixo menor da elipse
2c = distância focal da elipse
Podemos reescrever a equação polar da elipse como:
$$\rho =\frac{b^{2}}{a-c cos\theta }$$
Manipulando a expressão algebricamente:
$$a\rho -c\rho cos\theta =b^{2}$$
$\cdot \rho=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$
$\cdot \rho cos\theta = x+c$
$$a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-c(x+c)=b^{2}$$
$$a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=b^{2}+c(x+c)$$
$$a^{2}((x+c)^{2}+y^{2})=b^{4}+c^{2}(x+c)^{2}+2b^{2}c(x+c)$$
$$a^{2}y^{2}+(a^{2}-c^{2})(x+c)^{2}-2b^{2}c(x+c)=b^{4}$$
$\cdot(a^{2}-c^{2})= b^{2}$
$$a^{2}y^{2}+b^{2}[(x+c)^{2}-2c(x+c)+c^{2}]=b^{4}+c^{2}b^{2}$$
$$a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=b^{2}(c^{2}+b^{2})=b^{2}a^{2}$$
$$\therefore \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$