Semana 11

Questão 1:



Considere o sistema apresentado na figura acima. Considere também que esse arranjo se repete infinitamente. Para que suas equações possam refletir essa situação, aplique condições periódicas de contorno. Utilize seu conhecimento de álgebra linear e obtenha as frequências permitidas para a oscilação do sistema físico.

Solução:
$$\cdot\; Energia:\; U=\frac{1}{2}K\sum_{i=1}^{\infty }(s_{i+1}-s_{i})^{2}$$
$$\cdot \;Equação\; do\; movimento:\; M\ddot{s_{n}}+\frac{\partial U}{\partial s_{n}}=0$$
$$\frac{\partial U}{\partial s_{n}}=K(2s_{n}-s_{n-1}-s_{n+1}), \;então \;temos \;a \;seguinte\; EDO:$$
$$\ddot{s_{n}}+2\frac{K}{M}s_{n}=\frac{K}{M}(s_{n-1}+s_{n+1})$$
$$"Ansatz": s_{n}=u.e^{i(naq-wt)}$$
$$Portanto,\; temos:$$
$$s_{n-1}=u.e^{i(naq-wt)}.e^{-iaq}=s_{n}e^{-iaq}$$
$$s_{n+1}=u.e^{i(naq-wt)}.e^{iaq}=s_{n}e^{iaq}$$
$$\ddot{s_{n}}=-\omega ^{2}s_{n}$$
$$Substituindo\; na\; equação\; diferencial:$$
$$-\omega ^{2}s_{n}+2\frac{K}{M}s_{n}=\frac{K}{M}s_{n}(e^{-iaq}+e^{iaq})$$
$$Escrevendo \; e^{-iaq}+e^{iaq} \; na\; forma\; trigonométrica,\; teremos: $$
$$-\omega ^{2}+2\frac{K}{M}=\frac{K}{M}[cos(aq)+isen(aq)+cos(aq)-isen(aq)]$$
$$-\omega ^{2}+2\frac{K}{M}=\frac{K}{M}[2cos(aq)]$$
$$Então \; \omega^{2} =\frac{2K}{M}[1-cos(aq)] $$

Não foi explicado no enunciado, mas assumimos que a é uma constante e q é um inteiro. Dessa forma, percebe-se que $\omega$ assume apenas determinados valores. A frequência desse sistema é, portanto quantizada.

As moléculas sofrem muitas vibrações características em um sólido. A energia potencial armazenada nestes graus de liberdade demonstra que a energia total não está totalmente associada à temperatura. Os graus de liberdade mais internos tendem a aumentar a capacidade de uma substância de calor específico, contanto que as temperaturas sejam suficientemente elevadas para superar os efeitos quânticos.
Ao estudar o comportamento das moléculas nos sólidos, percebeu-se que as interações entre elas e suas ligações poderiam ser moldadas de acordo com sistemas massa-mola. Einstein, modificou o modelo proposto pela física clássica propondo que a energia dedicada às ligações atômicas em cada sistema era diferente de acordo com cada tipo de substância. Ele propôs que a energia das ligações não dependia apenas do número de átomos e moléculas, mas do tipo deles. Além disso, Einstein fez esse modelamento de acordo com sistemas massa-mola com uma constante k "de mola" diferente para cada material.

Questão 2:

Resolva a integral:
$$b_{n}=2\frac{y_{0}}{L}\int_{0}^{L}sen(\frac{3\pi x}{L})sen(\frac{n\pi x}{L})dx$$

Solução:
$n=3:$
$$b_{n}=b_{3}=2\frac{y_{0}}{L}\int_{0}^{L}sen^{2}(\frac{3\pi x}{L})$$
$$\therefore b_{n}=b_{3}=\frac{y_{0}}{L}[\int_{0}^{L}dx-\int_{0}^{L}cos(\frac{6\pi x}{L})dx]=\frac{y_{0}}{L}[L+0]=y_{0}$$

$n\neq 3:$
$$sen(a)sen(b)=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]$$
$$fazendo\; a=\frac{n\pi x}{L}\; e\; b=\frac{3\pi x}{L},\; temos:$$
$$b_{n}=\frac{y_{0}}{L}[\int_{0}^{L}cos(\frac{(n-3)\pi x}{L})dx-\int_{0}^{L}cos(\frac{(n+3)\pi x}{L})dx]$$
$$b_{n}=\frac{y_{0}}{L}[\frac{L}{\pi (n-3)}sen((n-3)\pi)-\frac{L}{\pi (n+3)}sen((n+3)\pi)]$$
$$\therefore b_{n}=\frac{y_{0}}{L}[0+0]=0$$