Semana 16

Questão 1

$$\frac{\partial L}{\partial q_{s}}=0$$
$$\Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{s}}}=0$$
$$\therefore \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{s}}}=C (constante\; no \;tempo)$$
$$H=\sum_{s=1}^{n}(p_{s}\dot{q_{s}})-L $$
$$\frac{\partial H}{\partial q_{s}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial }{\partial q_{s}}(p_{k}\dot{q_{k}})-\frac{\partial L}{\partial q_{s}}$$
$$\frac{\partial }{\partial q_{s}}(p_{k}\dot{q_{k}})=\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{s}}\dot{q_{k}}+p_{k}\frac{\partial \dot{q_{k}}}{\partial q_{s}}$$
$$=\frac{\partial }{\partial q_{s}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}}\dot{q_{k}}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}}\frac{\partial \dot{q_{k}}}{\partial q_{s}}$$
para$ k\neq s$:
$$\frac{\partial q_{k}}{\partial q_{s}}=0$$
para $k = s$:
$$\frac{\partial q_{s}}{\partial q_{s}}=1$$
Portanto, o somatório fica:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial }{\partial q_{s}}(p_{k}\dot{q_{k}})=\sum_{k=1}^{n}(\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{s}}}+\frac{\partial L}{\partial q_{s}})$$
$$mas \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{s}}}=C (constante\; no \;tempo)$$
$$\therefore \frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{s}}}=0$$
$$e \frac{\partial L}{\partial q_{s}}=0$$
$$\therefore \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial }{\partial q_{s}}(p_{k}\dot{q_{k}})=0$$
$$Como \frac{\partial L}{\partial q_{s}}=0, tem-se \;que:$$
$$\Rightarrow \frac{\partial H}{\partial q_{s}}=0$$

Semana 15

Questão 1)
Refazer pelo formalismo de Lagrange a questão da semana 14.

Solução:

Está refeita na postagem da semana 14. Ademais, nessa postagem estão as duas maneiras de resolver a questão, onde podemos usar tanto a equação de Lagrange quanto as forças generalizadas.


Questão 2) Considere o sistema apresentado na figura abaixo. À esquerda está a massa m1, as roldanas são ideais e a massa da direita é m2. A aceleração da gravidade local g é conhecida.
a) Identifique e represente graficamente as forças aplicadas em cada massa.
b) Indique quais forças são consideradas de vínculo e quais são consideradas forças aplicadas. Quantos são os graus de liberdade do movimento deste sistema?
c) Aplique os formalismos de Newton, de D´Alembert e de Lagrange e obtenha a aceleração de cada massa em cada um dos casos. 

Semana 14

Considere o sistema de duas polias na figura. Use as coordenadas generalizadas mais apropriadas e determine as equações de movimento.

Suponha conhecidas as massas 1,2 e 3, a aceleração local da gravidade, e despreze as massas das 2 polias. Nestas condições, resolva a questão acima pelos seguintes métodos:

Questão 1) Formalismo de d´Alembert.
Questão 2) Formalismo de Newton.
Questão 3) Formalismo de Lagrange.

Questão 1)

Questão 2)

$Equações \;do\; movimento:$
$$m_{1}g-T=m_{1}a_{1} \;(i)$$
$$-\frac{T}{2}+m_{2}g=m_{2}a_{2} \;(ii)$$
$$-\frac{T}{2}+m_{3}g=m_{3}a_{3} \;(iii)$$
$$2a_{1}+a_{2}+a_{3}=0 \;(iv)$$


Fazendo $(i)$,$(ii)$,$(iii)$ em $(iv)$ , temos:
$$T = \frac{8gm_1 m_2 m_3}{m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+4m_{2}m_{3}} \;\;\;\; (v)$$
Fazendo $(v)$ em $(i)$ temos: $$a_{1}=\frac{m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}-4m_{2}m_{3}}{m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+4m_{2}m_{3}}g$$
Fazendo $(v)$ em $(ii)$ temos: $$a_{2}=\frac{m_{1}m_{2}- 3 m_{1}m_{3}+ 4m_{2}m_{3}}{m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+4m_{2}m_{3}}g$$
Fazendo $(v)$ em $(iii)$ temos: $$a_{3}=\frac{m_{1}m_{3}- 3 m_{1}m_{2}+ 4m_{2}m_{3}}{m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+4m_{2}m_{3}}g$$


Questão 3)

Utilizando as coordenadas generalizadas (x,y), tem-se que:
A energia cinética é dada por:
$$T=\frac{1}{2}m_{1}\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}(\dot{x}-\dot{y})^{2}+\frac{1}{2}m_{3}(-\dot{x}-\dot{y})^{2}$$

Utilizaremos também as forças generalizadas nas respectivas coordenadas generalizadas.

Note que se substituirmos na questão 1 o valor de $\ddot{x}$ e de $\ddot{y}$ nas relações entre $a_1$, $a_2$ e $a_3$ encontramos os mesmos valores das acelerações encontrados pelo formalismo de Newton.
Semelhantemente, como encontramos o mesmo sistema de equações nas variáveis $\ddot{x}$ e $\ddot{y}$ na questão 3 e a relação entre $a_1$, $a_2$ e $a_3$ é a mesma podemos concluir que as acelerações obtidas serão as mesmas nos três casos (Formalismo de d´Alembert, Formalismo de Newton e Formalismo de Lagrange )








Agora, vamos utilizar o conceito da Função de Lagrange.

O potencial é dado por:
$$V=-m_{1}gx-m_{2}g(l_{1}-x+y)-m_{3}g(l_{1}+l_{2}-x-y)$$
A Lagrangeana é dada por:
$$L=T-V$$
$\therefore L=\frac{1}{2}m_{1}\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}(\dot{x}-\dot{y})^{2}+\frac{1}{2}m_{3}(-\dot{x}-\dot{y})^{2}$
$-(-m_{1}gx-m_{2}g(l_{1}-x+y)-m_{3}g(l_{1}+l_{2}-x-y))$

Sabemos que a equação de Lagrange é:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$ (onde q é uma das coordenadas generalizadas)

Obtendo-se a equação de Lagrange para a coordenada x (i.e. q=x):
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=(m_{1}+m_{2}+m_{3})\dot{x}+(m_{3}-m_{2})\dot{y}$$
$$\therefore \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=(m_{1}+m_{2}+m_{3})\ddot{x}+(m_{3}-m_{2})\ddot{y}$$
$$\frac{\partial L}{\partial x}=-(-m_{1}+m_{2}+m_{3})g$$
$$\Rightarrow (m_{1}+m_{2}+m_{3})\ddot{x}+(m_{3}-m_{2})\ddot{y}+(-m_{1}+m_{2}+m_{3})g=0$$
$$(Equação \;de \;Lagrange \;para \;a \;coordenada \;x)$$

Obtendo-se a equação de Lagrange para a coordenada y (i.e. q=y):
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=(m_{2}+m_{3})\dot{y}+(-m_{2}+m_{3})\dot{x}$$
$$\therefore \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=(m_{2}+m_{3})\ddot{y}+(-m_{2}+m_{3})\ddot{x}$$
$$\frac{\partial L}{\partial y}=(m_{2}-m_{3})g$$
$$\Rightarrow (m_{2}+m_{3})\ddot{y}+(-m_{2}+m_{3})\ddot{x}+(-m_{2}+m_{3})g=0$$
$$(Equação \;de \;Lagrange \;para\; a \;coordenada\; y)$$

Semana 13

Questão 1:

Um cone reto, maciço e homogêneo cujo raio da base é R e altura H, exerce força gravitacional sobre uma massa puntiforme m. Determine o valor desta força, sabendo que a massa está posicionada sobre o vértice do cone. Trabalhe em coordenadas cilíndricas e indique (através de uma figura) os versores correspondentes às direções cartesianas, bem como a origem de seu sistema de coordenadas.


Solução:

Considerando o eixo de coordenadas como o da figura acima e sabendo que o quadrado da distância de uma massa infinitesimal $\mathrm{d}M$ dentro do cone até a origem do sistema vale $r^{2} + z^{2}$, podemos dizer que a força aplicada sobre a massa m no vértice do cone é: $$\vec{F} = \int \frac{Gm}{r^{2} + z^{2}} [\hat{z} cos{\alpha} + \hat{r} sen{\alpha}] \mathrm{d}M$$ Onde $\alpha$ é o ângulo formado entre o eixo do cone e o vetor que une o vértice a $\mathrm{d}M$. Note, então, que a componente em $\hat{r}$ deve se anular devido à simetria do cone. Chamando a densidade do cone de $\rho$, vem que: $$ \vec{F} = Gm\rho \int_{0}^{H} \int_{0}^{\frac{zR}{H}} \int _{0}^{2\pi} \frac{1}{r^{2} + z^{2}} [\hat{z} cos{\alpha}] r\mathrm{d}\theta \mathrm{d} r\mathrm{d}z $$ $$ \vec{F} = Gm\rho2\pi \int_{0}^{H} \int_{0}^{\frac{zR}{H}} \frac{r}{r^{2} + z^{2}} [\hat{z} cos{\alpha}] \mathrm{d} r\mathrm{d}z $$ $$ \vec{F} = [ Gm\rho2\pi \int_{0}^{H} \int_{0}^{\frac{zR}{H}} \frac{r}{r^{2} + z^{2}} \frac{z}{ \sqrt{r^{2} + z^{2}} } \mathrm{d} r\mathrm{d}z ] \hat{z} $$ $$ \vec{F} = [ Gm\rho2\pi \int_{0}^{H} \int_{0}^{\frac{zR}{H}} \frac{rz}{(r^{2} + z^{2})^{3/2}} \mathrm{d} r\mathrm{d}z ] \hat{z} $$ $$ \vec{F} = [ Gm\rho2\pi \int_{0}^{H} \frac{\sqrt{R^{2} + H^{2}} - H}{\sqrt{R^2 + H^2}}\mathrm{d}z ] \hat{z} $$ como $ \rho = \frac{3 M}{\pi R^2 H} $ temos $$ \vec{F} = [ 6 G M m \frac{1}{R^2} \frac{\sqrt{R^{2} + H^{2}} - H}{\sqrt{R^2 + H^2}}] \hat{z} $$ Questão 2:

Prove a validade da 2a Lei de Kepler (lei das áreas) para forças centrais.


Solução:

Na figura acima, estamos considerando um deslocamento de uma partícula de massa $m$ (posição dada pelo vetor $\vec{r}$) na qual age uma força central durante um instante $\mathrm{d}t$ infinitesimal. Podemos perceber facilmente que a força central não produz torque e, portanto, o momento angular da partícula se conserva, ou seja: $$m r^{2} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} = k$$ , onde k é uma constante.
Também percebemos pela figura que a área percorrida no instante $\mathrm{d}t$ vale: $$\mathrm{d}A = \frac{r^{2}\mathrm{d} \theta}{2}$$ Assim, a área percorrida por unidade de tempo vale sempre $$\frac {\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{r^{2}}{2}\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t} = \frac{k}{2m}$$ O que nos leva à conclusão de que a quantidade de área "varrida" pelo vetor $\vec{r}$ é sempre a mesma para variações de tempo semelhantes, isto é, vale a 2ª lei de Kepler.


Questão 3:

Prove a validade da 3a Lei de Kepler (lei dos períodos) para forças centrais.


Solução:

Considerando as relações da elipse:
$$ \frac b a = \sqrt{1 - e^2} \therefore e^2 = 1 - (\frac{b}{a})^2 \;\;\;\;\; (I)$$ onde $a$ e $b$ são os semi-eixos e $e$ é a excentricidade da elipse
sabemos também que a velocidade areolar é dada por: $$ V_{areolar} = \frac{L}{ 2 m}$$ onde $L$ é o momento angular de uma partícula de massa $m$ que está na órbita elíptica
e sabemos que a excentricidade pode ser obtida também pela gravitação $$ e = \sqrt{1 - \frac{L^2}{GMm^2a}} \therefore e^2 = 1 - \frac{L^2}{GMm^2a} \;\;\;\;\;\;\; (II) $$ ainda, temos que o período T é dado por $$ T = \pi a b \frac{1}{V_{areolar}} \therefore T = \pi a b \frac{2 m}{L} $$ $$ \therefore L = \pi a b \frac{2 m}{T} \;\;\;\;\;\; (III)$$ Fazendo $(I)=(II)$ $$1 - (\frac{b}{a})^2 = 1 - \frac{L^2}{GMm^2a} $$ Substituindo $(III)$ na equação acima temos $$ \frac{4m^2 \pi ^2 a^2 b^2 }{T^2 GMm^2} = \frac{b^2}{a} $$ $$\rightarrow \frac{T^2}{a^3} = \frac{4 \pi ^2}{GM} = cte $$ O que nos mostra que é válida a terceira lei de Kepler.




Questão Extra

Semana 12

Questão 1) O que é o Almagesto?

ALMAGESTO

Almagesto é uma palavra árabe que significa "o maior" e é o nome de um tratado de astronomia escrito no século II pelo astrônomo Claudius Ptolomaeus de Alexandria, Egito. A obra, uma coleção de 13 livros, contém o mais completo catálogo de estrelas da antiguidade e foi utilizado amplamente pelos árabes e europeus até a alta Idade Média. Tinha o título original de "A Coleção Matemática", no entanto, ficou conhecida por "O Grande Astrônomo", de onde vem o seu título final.

O Almagesto constituiu uma espécie de "bíblia" astronômica para os 1400 anos seguintes a ele. Apresenta e desenvolve argumentos a favor da teoria geocêntrica do universo e apresenta também os resultados obtidos pelos astrônomos gregos da Antiguidade, além de ser a principal fonte de conhecimento a respeito do trabalho de Hiparco, considerado o maior astrônomo da Antiga Grécia - em seu catálogo estelar, Hiparco determinou a posição de 850 estrelas. Coube a Ptolomeu dar continuidade a esse trabalho (aproximadamente 250 anos depois), e nesse trabalho Ptolomeu registrou 1022 estrelas, das quais 172 ele próprio descobriu.

A obra Almagesto explica também a construção do astrolábio, instrumento inventado por Ptolomeu para calcular a altura de um corpo celeste acima da linha do horizonte, e a parte final é dedicada aos planetas, que constitui a contribuição mais original do autor à astronomia.

Ptolomeu preparou também um calendário no qual dava a hora em que as várias estrelas apareciam e desapareciam no céu, no alvorecer e no crepúsculo. Esse trabalho faz parte de uma obra em dois volumes, denominada "Hipóteses Planetárias", que foi outra obra de grande valor. Ele escreveu livros de forma que um leitor com menos conhecimentos matemáticos fosse capaz de assimilar algumas ideias fundamentais, da mesma forma que se procura fazer hoje em dia.

Como citamos, o Almagesto é composto por 13 livros, e abaixo está descrito o que cada um deles contém:

·         Primeiro livro: Ptolomeu defende neste livro, em linhas gerais, a teoria geocêntrica, expondo suas ideias   para defender sua teoria;

·         Segundo livro: Contém uma tabela de cordas e rudimentos de trigonometria esférica; 

·         Terceiro livro: Fala a respeito do movimento do Sol e da duração do ano; 

·         Quarto livro: Trata do movimento da lua e da duração dos meses; 

·         Quinto livro: Abrange as mesmas questões tratadas no quarto, acrescentando as distâncias do Sol e da Lua, além de descrever o astrolábio; 

·         Sexto livro: Trata de questões dos eclipses do sol e da lua, contém também uma tabela desses acontecimentos, além de uma outra tabela de conjunções e aposições dos planetas; 

·         Sétimo e oitavo livro: Trazem um catálogo de 1022 estrelas, a grande maioria já havia sido descrita por Hiparco; Ptolomeu deu continuidades ao trabalho desse último; 

·         Cinco últimos livros: São dedicados exclusivamente à exposição detalhada de sua teoria geocêntrica, mostrando as bases que fundamentaram e sustentam suas descrições e observações.

Questão 2) Enuncie a Lei de Gauss da Gravitação

A LEI DE GAUSS DA GRAVITAÇÃO

                A "Lei de Gauss" é bem conhecida por quase todo estudante de ciências exatas. Em palavras, ela diz que "o fluxo de linhas de campo através de uma superfície fechada é proporcional à carga (ou massa) dentro dessa superfície." Escrevemos carga ou massa pois a Lei de Gauss serve tanto para o campo elétrico quanto para o campo gravitacional. O que pouca gente sabe é que essa ideia de Gauss resolveu um enigma que atormentou Newton por vários anos.
                A questão era a seguinte:

                Imagine um aglomerado esférico de pequenas massas, todas iguais, a uma certa distância de outra massa pequena M. É claro que a massa M sofrerá a atração gravitacional das massinhas do aglomerado esférico. Agora, suponha que o aglomerado esférico se expanda uniformemente, aumentando de raio. Algumas massas se aproximam de M e outras se afastam. A pergunta é: com essa expansão a força gravitacional sobre M aumenta, diminui ou fica constante? A resposta correta é: fica constante. Newton sabia disso mas não sabia como provar de forma simples e convincente. Gauss, com sua lei, mostrou que é fácil provar essa afirmação.
                Vamos, por simplicidade, traçar linhas de campo saindo de cada massa do aglomerado como retas radiais, como na figura abaixo, (A). Consideremos uma superfície esférica S, imaginária, passando pela massa M. Essa é a chamada "superfície de Gauss". A força sobre M depende do número de linhas que atravessa S (o "fluxo").

               

                Ora, esse número é o mesmo, antes ou depois do aglomerado se expandir (B). Logo, a força sobre M não muda com a expansão.

                De forma mais quantitativa, temos , para o fluxo do campo gravitacional, que

                De onde temos o resultado que relaciona o fluxo de    com a massa total M no interior da superfície

                No caso de uma distribuição esfericamente simétrica, podemos escrever, usando argumento de simetria, que

       É válido, aqui, que façamos uma importante observação sobre a relação da lei de Gauss da gravitação com a lei de Gauss da eletrostática. Nesta última, o campo gravitacional dá lugar ao campo elétrico, a massa à carga elétrica e a constante que multiplica o termo à direita é adaptada para o caso da eletrostática. A equação é perfeitamente análoga:

 

     Percebemos, todavia, que o campo elétrico pode apontar no sentido que leva para a carga central ou no sentido contrário. Isso será determinado pelo sinal da carga que provoca o campo.

Referências:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Almagesto
http://www.ghtc.usp.br/server/Sites-HF/Geraldo/almagesto.htm
http://www.searadaciencia.ufc.br/especiais/matematica/eulergauss/eulergauss6.htm
http://efisica.if.usp.br/mecanica/avancado/gravitacao/lei_gauss/

Questão 3: Reescreva a equação da elipse de coordenadas polares para coordenadas cartesianas

Equação da elipse em coordenadas polares:
$$\rho =\frac{p}{1+\varepsilon cos\theta }$$

Sejam:
2a = eixo maior da elipse
2b = eixo menor da elipse
2c = distância focal da elipse
Podemos reescrever a equação polar da elipse como:
$$\rho =\frac{b^{2}}{a-c cos\theta }$$
Manipulando a expressão algebricamente:
$$a\rho -c\rho cos\theta =b^{2}$$
$\cdot \rho=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$
$\cdot \rho cos\theta = x+c$
$$a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-c(x+c)=b^{2}$$
$$a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=b^{2}+c(x+c)$$
$$a^{2}((x+c)^{2}+y^{2})=b^{4}+c^{2}(x+c)^{2}+2b^{2}c(x+c)$$
$$a^{2}y^{2}+(a^{2}-c^{2})(x+c)^{2}-2b^{2}c(x+c)=b^{4}$$
$\cdot(a^{2}-c^{2})= b^{2}$
$$a^{2}y^{2}+b^{2}[(x+c)^{2}-2c(x+c)+c^{2}]=b^{4}+c^{2}b^{2}$$
$$a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=b^{2}(c^{2}+b^{2})=b^{2}a^{2}$$
$$\therefore \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

Semana 11

Questão 1:



Considere o sistema apresentado na figura acima. Considere também que esse arranjo se repete infinitamente. Para que suas equações possam refletir essa situação, aplique condições periódicas de contorno. Utilize seu conhecimento de álgebra linear e obtenha as frequências permitidas para a oscilação do sistema físico.

Solução:
$$\cdot\; Energia:\; U=\frac{1}{2}K\sum_{i=1}^{\infty }(s_{i+1}-s_{i})^{2}$$
$$\cdot \;Equação\; do\; movimento:\; M\ddot{s_{n}}+\frac{\partial U}{\partial s_{n}}=0$$
$$\frac{\partial U}{\partial s_{n}}=K(2s_{n}-s_{n-1}-s_{n+1}), \;então \;temos \;a \;seguinte\; EDO:$$
$$\ddot{s_{n}}+2\frac{K}{M}s_{n}=\frac{K}{M}(s_{n-1}+s_{n+1})$$
$$"Ansatz": s_{n}=u.e^{i(naq-wt)}$$
$$Portanto,\; temos:$$
$$s_{n-1}=u.e^{i(naq-wt)}.e^{-iaq}=s_{n}e^{-iaq}$$
$$s_{n+1}=u.e^{i(naq-wt)}.e^{iaq}=s_{n}e^{iaq}$$
$$\ddot{s_{n}}=-\omega ^{2}s_{n}$$
$$Substituindo\; na\; equação\; diferencial:$$
$$-\omega ^{2}s_{n}+2\frac{K}{M}s_{n}=\frac{K}{M}s_{n}(e^{-iaq}+e^{iaq})$$
$$Escrevendo \; e^{-iaq}+e^{iaq} \; na\; forma\; trigonométrica,\; teremos: $$
$$-\omega ^{2}+2\frac{K}{M}=\frac{K}{M}[cos(aq)+isen(aq)+cos(aq)-isen(aq)]$$
$$-\omega ^{2}+2\frac{K}{M}=\frac{K}{M}[2cos(aq)]$$
$$Então \; \omega^{2} =\frac{2K}{M}[1-cos(aq)] $$

Não foi explicado no enunciado, mas assumimos que a é uma constante e q é um inteiro. Dessa forma, percebe-se que $\omega$ assume apenas determinados valores. A frequência desse sistema é, portanto quantizada.

As moléculas sofrem muitas vibrações características em um sólido. A energia potencial armazenada nestes graus de liberdade demonstra que a energia total não está totalmente associada à temperatura. Os graus de liberdade mais internos tendem a aumentar a capacidade de uma substância de calor específico, contanto que as temperaturas sejam suficientemente elevadas para superar os efeitos quânticos.
Ao estudar o comportamento das moléculas nos sólidos, percebeu-se que as interações entre elas e suas ligações poderiam ser moldadas de acordo com sistemas massa-mola. Einstein, modificou o modelo proposto pela física clássica propondo que a energia dedicada às ligações atômicas em cada sistema era diferente de acordo com cada tipo de substância. Ele propôs que a energia das ligações não dependia apenas do número de átomos e moléculas, mas do tipo deles. Além disso, Einstein fez esse modelamento de acordo com sistemas massa-mola com uma constante k "de mola" diferente para cada material.

Questão 2:

Resolva a integral:
$$b_{n}=2\frac{y_{0}}{L}\int_{0}^{L}sen(\frac{3\pi x}{L})sen(\frac{n\pi x}{L})dx$$

Solução:
$n=3:$
$$b_{n}=b_{3}=2\frac{y_{0}}{L}\int_{0}^{L}sen^{2}(\frac{3\pi x}{L})$$
$$\therefore b_{n}=b_{3}=\frac{y_{0}}{L}[\int_{0}^{L}dx-\int_{0}^{L}cos(\frac{6\pi x}{L})dx]=\frac{y_{0}}{L}[L+0]=y_{0}$$

$n\neq 3:$
$$sen(a)sen(b)=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]$$
$$fazendo\; a=\frac{n\pi x}{L}\; e\; b=\frac{3\pi x}{L},\; temos:$$
$$b_{n}=\frac{y_{0}}{L}[\int_{0}^{L}cos(\frac{(n-3)\pi x}{L})dx-\int_{0}^{L}cos(\frac{(n+3)\pi x}{L})dx]$$
$$b_{n}=\frac{y_{0}}{L}[\frac{L}{\pi (n-3)}sen((n-3)\pi)-\frac{L}{\pi (n+3)}sen((n+3)\pi)]$$
$$\therefore b_{n}=\frac{y_{0}}{L}[0+0]=0$$

Semana 9

12.63. Uma partícula de massa m está sujeita à força indicada na figura 12.52., denominada onda quadrada; isto é, a força tem módulo constante, mas muda de sentido a intervalos de tempo regulares de $\frac{\pi}{\omega}$. Essa força pode ser representada pela série de Fourier:
$$F = F_{0}(\frac{4}{\pi})(sen\omega t + \frac{1}{3}sen3\omega t + \frac{1}{5}sen5\omega t + ...)$$


a. Escreva a equação de movimento da partícula

Solução:

$$F = F_{0}(\frac{4}{\pi})(sen\omega t + \frac{1}{3}sen3\omega t + \frac{1}{5}sen5\omega t + ...) = m.\ddot{x}$$
$$\ddot{x} = \frac{F_{0}}{m}(\frac{4}{\pi})(sen\omega t + \frac{1}{3}sen3\omega t + \frac{1}{5}sen5\omega t + ...)$$

b. Verifique, por substituição direta, que sua solução pode ser escrita como
$$x = a + bt + Asen\omega t + Bsen3\omega t + Csen5\omega t + ...$$
onde a e b são constantes arbitrárias, e determine os valores dos coeficientes A, B, C, ... de modo que a equação de movimento seja satisfeita.

Solução:

Para que a solução seja a proposta no enunciado, ao derivá-la 2 vezes, devemos encontrar a mesma solução do item a.
Cálculo de $\ddot{x}$:
$$\ddot{x} = -A\omega^2sen\omega t -9B\omega^2sen3\omega t -25C\omega^2sen5\omega t - ...$$
$$-A\omega^2 = \frac{4F_{0}}{m.\pi}, -9B\omega^2 = \frac{4F_{0}}{3.m.\pi}, -25C\omega^2 = \frac{4F_{0}}{5.m.\pi}, ...$$
$$\therefore A = -\frac{4F_{0}}{\omega^2.m.\pi}, B = -\frac{4F_{0}}{27\omega^2.m.\pi}, C = -\frac{4F_{0}}{125\omega^2.m.\pi}, ...$$
De forma geral, temos: $T_{geral} = -\frac{4F_{0}}{n^3\omega^2.m.\pi}$, em que n é um número natural.


12.67. Considere uma partícula oscilando sob a influência do potencial anarmônico $E_{p}(x) = \frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{3}ax^3$, onde a é positivo e muito menor que k.

a. Faça um gráfico esquemático de $E_{p}(x)$. A curva é simétrica em torno de x = 0? Em vista da resposta que você deu à pergunta anterior, em que sentido se desloca o centro de oscilação quando a energia é aumentada? Você acha que $x_{med}$ deve ser nulo?
Solução:

Figura 1:


Não, a curva não é simétrica em torno do valor x=0.
Quando a energia é aumentada, o centro de oscilação é deslocado no sentido de se afastar do ponto de equilíbrio.

O $x_{med}$ pode ser obtido traçando uma reta paralela ao eixo x e calculando o valor médio dos pontos de intersecção. Sabendo disso, podemos notar que no caso descrito na questão, que pode ser observado na Figura 1, o $x_{med}$ desloca-se para a direita à medida que aumentamos a energia potencial $E_p$



b. Obtenha a força como função de x e faça um gráfico esquemático. Qual é o efeito do termo anarmônico sobre a força?

Solução:

A força pode ser obtida derivando a energia potencial em relação a x. $$F(x) = -\frac{\mathrm{d} E_{p}}{\mathrm{d} x} \therefore F(x) = ax^{2} - kx$$ Figura 2:



Figura 3:

Graficamente o termo anarmônico torna a força restauradora uma parábola (Figura 2), mas quando fazemos k>>a, ou seja, quando diminuímos a influência do termo anarmônico, o gráfico da força restauradora aproxima-se ao de uma reta (Figura 3) para pequenos valores de x.



12.68. Com relação ao problema precedente,

a. Escreva a equação de movimento.

b. Tente como solução $x = Acos\omega t + Bcos2\omega t + x_{1}$, onde os dois últimos termos resultam do termo anarmônico.

c. Essa expressão pode representar uma solução exata?

d. Desprezando todos os termos que envolvem produtos de A e B ou potências de B de ordem maior que a primeira, prove que $\omega = \omega_{0},\; x_{1} = \frac{\alpha A^2}{2\omega_{0}^2} \;e\; B = -\frac{\alpha A^2}{6\omega_{0}^2},\; onde \; \omega_{0}^2 = \frac{k}{m} \; e\; \alpha = \frac{a}{m}$.[Sugestão: use a relação trigonométrica $cos^2\omega t = \frac{1}{2}(1 + cos2\omega t)$].


Solução:
a) Sabemos que a equação da força restauradora calculada no exercício anterior é dada por $$F=ax^2-kx $$ e que a equação do movimento é dada por: $$F=m\ddot{x} \therefore ax^2 - kx = m\ddot x $$ $$\ddot x+ \frac km x - \frac a m x^2 = 0 \;\;\;\;\; (*) $$ b) Para resolver a equação (*), vamos tentar uma solução do tipo $$ x=Acos(\omega t) + B cos(2 \omega t) + x_1 \;\;\;\;\; (I) $$ Derivando a equação (I) duas vezes com relação ao tempo, obtemos $$ \ddot x = - A \omega ^2 cos(\omega t) - 4 B \omega ^2 cos(2 \omega t) \;\;\;\;\; (II) $$ Substituindo (I) e (II) em (*) e sabendo das relações trigonométricas que$ cos^2 (\omega t) = \frac 1 2 (1 + cos(2 \omega t)) e cos^2(2 \omega t ) = \frac 1 2 (1 + cos(4 \omega t))$ $$ cos(wt)(\frac k m A - Aw^2 - 2a x_1 \frac A m ) +$$ $$ + cos(2wt) (\frac k m B - 4Bw^2-\frac {aA^2}{2m} - \frac a m 2 B x_1) - $$ $$ -cos(4wt)\frac{B^2a}{2m} +$$ $$ + \frac{k x_1}{m} - \frac a m (\frac{A^2}{2} + \frac{B^2}{2} + x_1^2) +$$ $$+2ABcos(wt)cos(2wt) = 0 \;\;\;\;\; (III)$$ c) Note que só existe um termo que multiplica $cos(4wt)$ e como não há outra maneira de gerar mais um termo que possua $cos(4wt)$ através de combinações dos outros termos que possuem $cos(wt) $ e $ cos(2wt)$ temos que a solução não pode ser exata, uma vez que a expressão não pode se anular para todo t.

d) Desprezando os termos com $B^2$ e com o produto $AB$ temos de (III): $$ cos(wt)(\frac k m A - Aw^2 - 2a x_1 \frac A m ) +$$ $$ + cos(2wt) (\frac k m B - 4Bw^2-\frac {aA^2}{2m} - \frac a m 2 B x_1) $$ $$ + \frac{k x_1}{m} - \frac a m (\frac{A^2}{2} + x_1^2) =0$$ usando o fato de que $a << k$ temos que o movimento se aproxima de um movimento harmônico e portanto $w\approx w_o$ então $w^2 \approx \frac k m$

Igualando a zero o coeficiente de $cos(wt)$ temos: $$\frac k m A - Aw^2 - 2a x_1 \frac A m = 0 \therefore$$ $$ \frac k m = w^2 + 2a x_1 \frac 1 m (IV)$$ substituindo (IV) no termo que multiplica $cos(2wt)$ temos: $$\frac k m B - 4Bw^2-\frac {aA^2}{2m} - \frac a m 2 B x_1 =0 \;\;\; \therefore$$ $$ w^2 + 2a x_1 \frac 1 m B - 4Bw^2-\frac {aA^2}{2m} - \frac a m 2 B x_1 =0 $$ portanto $$ B = - \frac{aA^2}{6w^2m}$$ mas como $\alpha = \frac a m$ e $w = w_o$ temos que $$B = - \frac{\alpha A^2}{6w_o^2} $$ Finalmente para determinar $x_1$ igualamos os termos independentes a zero, assim temos uma equação do segundo grau em $x_1$ $$ k x_1 - a (\frac{A^2}{2} + x_1^2)=0 $$ podemos então desprezar o termo de $x_1 ^2$ considerando que $x_1 << A$ e obtemos $$ x_1 = \frac{\alpha a^2}{2w_o^2} $$