Semana 8

Questão 1) (12.54) Suponha que, para um oscilador amortecido, $\gamma $ seja muito pequeno comparado com $\omega _{0}$, de modo que a amplitude permanece praticamente constante durante uma oscilação.

(a) Verifique que a energia do oscilador amortecido pode ser escrita na forma $$E=\frac{1}{2} m\omega _{0}^{2}A^{2}e^{-\gamma t}$$
(b) A dissipação média de potência é definida por $P=-dE/dt$. Prove que $P=2\gamma E=\frac{E}{\tau }$

(c) Prove que esta dissipação de potência é igual ao trabalho médio efetuado pela força amortecedora, na unidade de tempo.

Solução:
(a) No problema 12.48, encontramos uma expressão para a posição em um movimento oscilatório amortecido, dada por: $$x = Ae^{-\gamma t}sen(\omega t + \alpha )$$ Supondo que a amplitude se mantém praticamente constante, podemos aproximar para um movimento harmônico simples, cuja energia é dada por: $$E = \frac{1}{2}kA^{2}$$ No movimento em que estamos analisando, a amplitude é dada por: $A'=Ae^{-\gamma t}$ e, como $\omega _{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}$, temos $k=m\omega _{0}^{2}$.
Dessa forma, substituindo na expressão, teremos: $$E = \frac{1}{2}m\omega _{0}^{2}A^{2}e^{-2\gamma t}$$

(b) Sendo $P=-\frac{dE}{dt}$, basta derivarmos a expressão acima: $$-\frac{dE}{dt}=-\left (\frac{1}{2}m\omega _{0}^{2}A^{2}(-2\gamma )e^{-2\gamma t}\right )$$ $$-\frac{dE}{dt}=2\gamma \left (\frac{1}{2}m\omega _{0}^{2}A^{2}e^{-2\gamma t}\right )$$ $$\therefore P=2\gamma E$$ Sendo $\tau = \frac{1}{2\gamma}$ o tempo de relaxação, temos que: $$P=2\gamma E=\frac{E}{\tau }$$
(c)A força de amortecimento é dada por $F=bv \;\;\;\;\; (I)$, em módulo, onde $b = 2m\gamma$.
$$F=2m\gamma \omega Ae^{-\gamma t}cos(\omega t + \delta )$$ mas, sabemos que o trabalho de uma força pode ser calculado como: $$ d\tau = F .dx \;\;\;\;\;\; (II)$$ então, substituindo (I) em (II) e fazendo $dx = v. dt$ temos: $$d\tau = (b v) .v .dt \therefore \frac{d\tau}{dt} = b .v^2 \;\;\;\;\; (*)$$ ainda temos que: $$x = Ae^{-\gamma t}sen(\omega t + \alpha )$$ $$\therefore v=\frac{dx}{dt} = Ae^{-\gamma t}\omega cos(\omega t + \alpha )\;\;\;\;\;\;\; (III)$$ obs. dado que no enunciado foi imposto que $\gamma$ é muito pequeno comparado com $\omega$ podemos fazer com que o outro termo da derivada em (III) seja zero, assim podemos substituir (III) em (*): $$\frac{d\tau}{dt} = b .(Ae^{-\gamma t} \omega cos(\omega t + \alpha ))^2 $$ $$\therefore \frac{d\tau}{dt} = b .(A^2 e^{-2\gamma t}\omega^2 cos^2(\omega t + \alpha ) )$$ Assim, o valor do trabalho médio efetuado por essa força é dado pela integral num período: $$\therefore \frac{d\tau}{dt} = b .(A^2 e^{-2\gamma t}\omega^2 \frac12) $$ pois, $$ \int_{0}^{2\pi}\frac{cos^2(x )}{2\pi} dx = \frac12$$ e substituindo, também, o valor de b: $$\therefore \frac{d\tau}{dt} = 2m\gamma .(A^2 e^{-2\gamma t}\omega^2 \frac12) $$ $$\therefore \frac{d\tau}{dt} = m\gamma .(A^2 e^{-2\gamma t} \omega^2) \;\;\;\;\;\;(IV) $$ Dado que a dissipação da potência calculada no item (b) é: $$P=m\gamma \omega ^{2}A^{2}e^{-2\gamma t} \;\;\;\;\; (V)$$ Note que (IV)=(V), então: $$\frac{d\tau}{dt} = P$$ ou seja, a dissipação de potência é igual ao trabalho médio efetuado pela força amortecedora, na unidade de tempo.

obs. o item (c) da questão 1 (12.54 do livro Alonso) foi postado no dia 22/04/2013 às 02:27 $$$$ $$$$ $$$$ Questão 2) (12-55 livro do Alonso)

Prove que, para um oscilador forçado, $P_{med} = \frac{1}{2}(P_{med})_{res}$ quando a reatância é igual a resistência $X=\pm R$ ou $\omega_f ^2 - \omega_0 ^2 = \pm 2\gamma \omega_f$. A diferença $(\Delta \omega)_{1/2}$ entre os dois valores de $\omega_f$ para essa situação, é chamada largura da banda do oscilador e a razão $Q = \omega/(\Delta \omega)_{1/2}$ é chamada fator $Q$ do oscilador. Prove que, para pequeno amortecimento, $(\Delta \omega)_{1/2} = 2\gamma$ e, assim, $Q=\omega_0 / 2\gamma$. [Sugestão: aplique as Eqs. (12.70)e (12.71), com valores para R e Z.]

Solução:

Temos, das Eqs. (12.70) e (12.71) : $$ P_{med}= \frac{F_o ^2}{2 Z} cos\alpha = \frac{1}{2} F_o v_o cos\alpha = \frac{F_o ^2}{2 z^2} = \frac{1}{2} R v_o^2 \;\;\;\;\; (12.70) $$ $$(P_{med})_{res} = \frac{ F_o ^2 }{2 R} \;\;\;\;\;\; (12.71)$$ e sabemos que para oscilações forçadas também temos a seguinte relação $$ Z = \sqrt{X^2 + R^2} \;\;\;\;\;\; (12.66) $$ Pelo enunciado também temos a seguinte relação: $$X=\pm R \;\;\;\;\; (I)$$ Assim, de (I) em (12.66) $$ Z^2 = 2 R^2 \;\;\;\;\;\; (II)$$ De (II) em (12.70) $$P_{med}= \frac{F_o ^2}{2 z^2}$$ $$\therefore P_{med}= \frac{F_o ^2}{4 R^2}$$ $$\therefore P_{med} = \frac{ F_o ^2 }{2 R}\frac{1}{2} $$ $$\therefore P_{med} = \frac{(P_{med})_{res}}{2} $$ * Note que se $$\omega_f ^2 - \omega_0 ^2 = \pm 2\gamma \omega_f \;\;\;\;\;\;\; (III)$$ recaímos na mesma condição (I) onde $$X=\pm R$$ pois, sabemos que $$ tg \alpha = \frac{\omega_f ^2 - \omega_o ^2 }{2\gamma \omega_f} \;\;\;\;\;\; (12.59)$$ $$ tg \alpha = \frac{X}{R} \;\;\;\;\;\; (12.67)$$ Fazendo (III) em (12.59), temos $$ tg \alpha = \pm 1 \;\;\;\;\; (IV)$$ de $(12.67) = (IV)$ $$\rightarrow X = \pm R $$

$$$$ Na segunda parte do exercício temos do enunciado que $(\Delta \omega)_{1/2}$ é a diferença entre os dois valores de $\omega_f$, ou seja, $(\Delta \omega)_{1/2} $ é dado pela seguinte equação: $$\omega_f ^2 - \omega_0 ^2 = \pm 2\gamma \omega_f $$ $$\therefore \omega_f ^2 \pm 2\gamma \omega_f - \omega_0 ^2 = 0$$ $$\therefore \left\{\begin{matrix} \omega_{f1} = - \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 + \omega_o^2} \;\;\;\;\; (V)\\ \omega_{f2} = + \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 + \omega_o^2} \;\;\;\;\; (VI) \end{matrix}\right. $$ Note que a frequência angular da força aplicada deve ser maior do que zero $(\omega_f > 0)$. Assim, as equações (V) e (VI) ficam: $$\therefore \left\{\begin{matrix} \omega_{f1} = - \gamma + \sqrt{\gamma^2 + \omega_o^2} \;\;\;\;\; (VII)\\ \omega_{f2} = + \gamma + \sqrt{\gamma^2 + \omega_o^2} \;\;\;\;\; (VIII) \end{matrix}\right. $$ Logo, a diferença $(\Delta \omega)_{1/2}$ é dada por $(VIII) - (VII)$ : $$\rightarrow (\Delta \omega)_{1/2} = 2 \gamma $$ e para pequenas oscilações $\omega_f \approx \omega_o $, então $Q = \frac{\omega_f}{(\Delta \omega)_{1/2}}$ fica: $$Q = \frac{\omega_o}{2\gamma} $$ $$$$ $$$$ $$$$ Questão 3) (12.56)
(a) Calcule os valores médios das energias cinética e potencial das oscilações forçadas de um oscilador amortecido.
(b) Obtenha o quociente entre a soma dessas duas energias e o trabalho realizado pela força aplicada num período. Esse fator é útil para indicar o desempenho do oscilador. Prove que, para pequenos amortecimentos, esse fator é igual a $Q/2\tau$.

Resolução:

(a) Tem-se que o cálculo do valor médio de uma função periódica é dado por:
$$\bar{f}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt$$
Expressão da energia cinética de um oscilador amortecido forçado em função do tempo:
$$E_{c}=\frac{1}{2}mv^{2}\Rightarrow E_{c}=\frac{1}{2}m\omega _{f}^{2}A^{2}cos^{2}(\omega_{f}t-\alpha )$$
Cálculo da energia cinética média:
$$\bar{E_{c}}=\frac{\omega_{f}}{2\pi }\int_{0}^{\frac{2\pi }{\omega_{f}}}\frac{1}{2}m\omega _{f}^{2}A^{2}cos^{2}(\omega_{f}t-\alpha )dt$$
$$\bar{E_{c}}=\frac{\omega_{f}}{2\pi }\int_{0}^{\frac{2\pi }{\omega_{f}}}\frac{1}{4}m\omega _{f}^{2}A^{2}(1+cos(2\omega_{f}t-2\alpha ))dt$$
$$\therefore\bar{E_{c}}=\frac{1}{4}m\omega _{f}^{2}A^{2} $$
Expressão da energia potencial de um oscilador amortecido forçado em função do tempo:
$$E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}\Rightarrow E_{p}=\frac{1}{2}kA^{2}sen^{2}(\omega_{f}t-\alpha )$$
Cálculo da energia potencial média:
$$\bar{E_{p}}=\frac{\omega_{f}}{2\pi }\int_{0}^{\frac{2\pi }{\omega_{f}}}\frac{1}{2}kA^{2}sen^{2}(\omega_{f}t-\alpha )dt$$
$$\bar{E_{p}}=\frac{\omega_{f}}{2\pi }\int_{0}^{\frac{2\pi }{\omega_{f}}}\frac{1}{4}kA^{2}(1-cos(2\omega_{f}t-2\alpha ))dt$$
$$\therefore\bar{E_{p}}=\frac{1}{4}kA^{2}=\frac{1}{4}m\omega _{0}^{2}A^{2} $$


(b) Cálculo do trabalho realizado pela força num período:

Tem-se que a potência média de um oscilador amortecido forçado é dada por:
$$\bar{P}=\frac{F_{0}^{2}cos\alpha }{2Z} $$
Onde Z é dado por:
$$Z=\sqrt{(m\omega_{f}-k/\omega_{f})^{2}+\lambda ^{2}}$$
Portanto,
$$\Rightarrow \bar{P}=\frac{ZA^{2}\omega_{f}^2cos\alpha }{2}$$
$$W=\bar{P}T=\frac{ZA^{2}\omega_{f}^2cos\alpha }{2}\frac{2\pi}{\omega_{f}}$$
$$\therefore W=ZA^{2}\omega_{f}\pi cos\alpha$$
Logo, tem-se que o quociente é dado por:
$$\frac{\bar{E_{c}}+\bar{E_{p}}}{W}=\frac{m(\omega _{f}^{2}+\omega _{0}^{2})}{4\pi Z\omega _{f}cos\alpha }$$
Para pequenos amortecimentos, tem-se que:
$$\frac{\bar{E_{c}}+\bar{E_{p}}}{W}=\frac{\omega _{f}^{2}+\omega _{0}^{2}}{4\omega _{f}}$$
Para $\omega _{f}=\omega _{0}$ e considerando que, em pequenos amortecimentos, $Q=\omega _0/2\gamma$:
$$\frac{\bar{E_{c}}+\bar{E_{p}}}{W}=\frac{2\omega _{0}^{2}}{4\omega _{0}}=\frac{\omega _0}{2}=\frac{\omega _0/2\gamma }{2.1/2\gamma }=\frac{Q}{2\tau }$$