Semana 6

Questão 1

Calcule a frequência natural $f_{n}$ de oscilação vertical do cilindro carregado por molas quando ele é posto em movimento. As duas molas estão tracionadas o tempo todo.



Solução:
A mola inferior exerce uma força dada por $T_{1}$, enquanto a mola superior exerce uma força dada por $T_{2}$. Ao deslocar o bloco de um $\Delta x$ teremos uma força resultante no sentido contrário. Teremos o seguinte diagrama de forças para o bloco antes e depois:



No equilíbrio:$$T_{1}=T_{2}+mg$$ Após o deslocamento $\Delta x$, sendo $\vec{F_{el}} = -k\vec{\Delta x}$, teremos: $$F_{res}=(T_{1}+k\Delta x)-(T_{2}+mg-k \Delta x)$$ Como $mg=T_{1}-T_{2}$, substituindo temos: $$F_{res}=2k\Delta x$$ Pelo enunciado, $k=3000 \frac{N}{m}$, assim: $$F_{res}=6000\Delta x$$ Já que $F_{res}$ e $\Delta x$ tem sentidos opostos, assumindo a forma de uma equação harmônica simples, podemos encontrar $\omega$: $$ \omega = \sqrt{\frac {6000}{m}} $$ Como $m=10kg$ e $f_{n} = \frac {\omega }{2\pi}$, temos: $$f_{n} = \frac {\sqrt {600}}{2\pi}$$
$$f_{n} =3.9Hz$$ $$$$ Questão 8.14
Substitua as molas em cada um dos dois casos mostrados por uma única mola de rigidez k (constante de mola equivalente) que fará com que cada massa vibre com a sua frequência original.

a) Sabemos que a resultante das forças que agem sobre o corpo deve ser equivalente à força de uma mola de constante de rigidez $k_{eq}$ e que o deslocamento $x_{1}$ da mola 1 é igual ao deslocamento $x_{2}$ da mola 2 - o qual chamaremos de x. Assim, temos:
$$F_{eq} = F_{1} + F_{2}$$
$$k_{eq}.x = k_{1}.x + k_{2}.x$$
$$\therefore k_{eq} = k_{1} + k_{2}$$
Note que esse raciocínio, onde as molas são associadas em paralelo pode ser estendido para uma associação de $n$ molas em paralelo, na qual temos que: $$k_{eq} = \sum_{i=1}^{n}k_{i}$$
b)Do equilíbrio de forças, sabemos que a força que age sobre a mola 1 é igual à força que age sobre a mola 2. Logo, a força equivalente será igual à soma dessas forças.
$$F_{1} = k_{1}.x_{1} = F \Rightarrow x_{1} = \frac{F}{k_{1}}$$
$$F_{2} = k_{2}.x_{2} = F \Rightarrow x_{2} = \frac{F}{k_{2}}$$
$$F_{eq} = k_{eq}.x = F \Rightarrow x = \frac{F}{k_{eq}}$$
Mas $x = x_{1} + x_{2}$, então:
$$\frac{F}{k_{eq}} = \frac{F}{k_{1}} + \frac{F}{k_{2}}$$
$$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$$
$$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{k_{1} + k_{2}}{k_{1}.k_{2}}$$
$$\therefore k_{eq} = \frac{k_{1}.k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$$
Note que o resultado obtido para associação de 2 molas em série pode ser extrapolado para n molas em série $$ \frac{1}{k_{eq}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k_{i}}$$ $$$$ Questão 3

Durante o projeto do sistema de apoio com molas para a plataforma de pesagem de 4t, decide-se que a frequência de vibração livre vertical na condição descarregada não deve exceder 3 ciclos por segundo. (a) Determine a constante de mola máxima aceitável $k$ para cada uma das três molas idênticas. (b) Para esta constante de mola, qual seria a frequência natural $f_{n}$ da vibração vertical da plataforma carregada com caminhão de 40t?



Solução:

(a)
Como a frequência de vibração na condição descarregada não deve exceder 3 ciclos por segundo, temos que a frequência máxima é: $$f_{max} = 3 Hz $$ Dado que o sistema em questão pode ser transformado em um sistema massa mola, por meio de uma associação de molas em paralelo onde $k_{equivalente} = 3k$, podemos concluir que o movimento gerado por pequenas pertubações é um Movimento Harmônico Simples.
Assim, das propriedades do MHS, sabemos que: $$ \omega = \sqrt{\frac{k_{equi}}{m}} $$ Podemos, agora calcular o valor da constante de mola equivalente: $$\omega^{2} = \frac{k_{equi}}{m} \therefore k_{equi} = m\omega^{2} $$ E como, $$k_{equi} = 3k \therefore k = \frac{k_{equi}}{3}$$ temos, então $$k = \frac{m\omega^{2}}{3} $$ substituindo os valores de $m = 4000kg$ e $\omega = 2 \pi f_{max} $, onde $ f_{max} = 3Hz$ temos: $$k = \frac{4000(2 \pi \times 3)^{2}}{3} \therefore k = 474\frac{kN}{m} $$

(b)
Na situação da plataforma carregada com o caminhão, a fim de obter a nova frequência natural de vibração $f_{n}$, podemos igualar a constante de mola equivalente $ k_{equi}$, obtendo a seguinte equação: $$\omega^{2} = \frac{k_{equi}}{m} \therefore k_{equi} = \omega^{2} m $$ $$ \omega^{2}_{antes} m_{antes} = \omega^{2}_{depois} m_{depois} $$ como $\omega = 2\pi f$ $$ (2\pi f_{antes})^{2} m_{antes} = (2\pi f_{depois})^{2} m_{depois}$$ $$ f_{depois} = f_{antes} \sqrt{\frac{m_{antes}}{m_{depois}}} $$ substituindo os valores, $$m_{antes} = 4000kg$$ $$m_{depois} = m_{plataforma} + m_{caminhão} \therefore m_{depois} = 4000 + 40000 $$ $$ m_{depois} = 44000 kg$$ $$ f_n = 3 \sqrt{\frac{4000}{44000}}$$ $$ f_n = 0,905 Hz$$