Semana 3

Obs.: As imagens podem ser ampliadas, basta clicar em cima delas.

Questão 1)

Um cilindro de massa $m$ e raio $a$ rola sem deslizar sobre o plano inclinado mostrado na figura na figura, que por sua vez desliza sobre uma mesa sem atrito. Quanto vale a aceleração do plano inclinado?

Solução:


Sejam:
$\vec{A}$: aceleração do plano
$\vec{a_{A}}$: aceleração do cilindro em relação ao plano
$\vec{G_{m}B} = a$: raio do cilindro
$\vec{\alpha}$: aceleração angular do cilindro (convencionemos que aponta no sentido do eixo z)

Para resolver o problema, utilizaremos as seguintes equações:

Translação do plano no eixo x: $$MA = N\sin\theta - f\cos\theta \;\;\; (I) $$ Translação do cilindro no eixo y: $$ma_{A}\sin\theta = N\cos\theta + f\sin\theta - mg \;\;\; (II)$$ Translação do cilindro no eixo x: $$mA + ma_{A}\cos\theta = f\cos\theta - N\sin\theta \;\;\; (III)$$ Movimento de rotação do cilindro (consideramos, aqui, $G_{m}$ como nosso referencial): $$\vec{-a_{A}} = \vec{\alpha}\times\vec{G_{m}B} \therefore$$ $$-a_{A} = \alpha a \;\;\; (IV)$$ Torque no cilindro em relação ao ponto $G_{m}$: $$\vec{\tau_{G_{m}}} = \vec{G_{m}B}\times\vec{f} = \vec{af}\;\; (no\: sentido\: positivo\: do\: eixo\: z) $$ $$também \; temos: \; \; \vec{\tau_{G_{m}}} = \frac{\mathrm{d} \vec{L_{G_{m}}}}{\mathrm{d} t} = I_{G_{m}} \vec{\alpha} \therefore \tau = \frac{ma^{2}\alpha}{2}$$ $$logo \;\; af = \frac{ma^{2}\alpha}{2} \therefore f = \frac{ma\alpha}{2}$$ $$Aplicando\;a\;equação\;(IV),\;vem: \;\; f = -\frac{ma_{A}}{2} \;\;\;(V)$$ Agora, utilizaremos algumas manipulações matemáticas. Primeiro, somamos as equações $(I)$ e $(III)$ para obter: $$(M + m)A = -ma_{A}\cos\theta$$ O que, pela equação $(V)$, nos dá: $$f = \frac{(M + m)A}{2\cos\theta} \;\;\; (*)$$ Agora, aplicando $(*)$ em $(I)$, vem: $$MA = N\sin\theta -\frac{(M+m)A}{2\cos\theta} \;\; \therefore$$ $$N = \frac{A(3M+m)}{2\sin\theta} \;\;\; (**)$$ E, finalmente, aplicando $(V)$, $(*)$ e $(**)$ em $(II)$, segue: $$(-2f)\sin\theta = [\frac{(3M+m)A}{2\sin\theta}]\cos\theta + f\sin\theta - mg \therefore$$ $$mg = \frac{A(3M+m)}{\tan\theta} + 3f\sin\theta \therefore$$ $$mg = \frac{A(3M+m)}{\tan\theta} + 3(\frac{(M + m)A}{2\cos\theta})\sin\theta$$ $$mg = A\frac{(3M+m)\cos^2\theta + 3(M + m)\sin^2\theta}{\sin 2\theta}$$ $$mg = A\frac{3M + m + 2m\sin^2\theta}{\sin 2\theta}$$ $$mg\sin 2\theta = A(3M + 2m -m\cos 2\theta)$$ $$A = \frac{mg\sin 2\theta}{3M + 2m -m\cos 2\theta}$$ Quanto ao sentido de rotação do cilindro, basta perceber, fazendo uma simples análise matemática da última equação, que a variável $A$ é positiva. Assim, o sentido convencionado (o que está na figura) para a aceleração do plano é verdadeiro. Temos também, portanto, segundo a equação $(*)$, que o sentido de $\vec{f}$ é o sentido convencionado (na figura). Finalmente, analisando as equações $(V)$ e $(IV)$, chegamos à conclusão que $\vec{\alpha}$ tem o sentido convencionado (sentido positivo de z). Como o cilindro parte do repouso, é fácil perceber que o sentido da velocidade angular é o mesmo da aceleração. Logo, o cilindro rola para baixo.


Questão 2)
10.28 - Alonso vol.I
Um bastão de comprimento L e massa m repousa sobre um plano horizontal sem atrito. Durante o curto intervalo de tempo $\Delta t$ o bastão é atingido por uma força F que produz um impulso I. A força age num ponto P situado a uma distância a do centro de massa. Procure (a) a velocidade do centro de massa, e (b) a velocidade angular em torno do centro de massa. (c) Determine o ponto Q, que permanece inicialmente em repouso no referencial de laboratório, mostrando que $b= \frac{K^2}{a}$, onde K é o raio de giração em torno do centro de massa. O ponto Q é chamado centro de percussão. (Por exemplo, um jogador de basebol deve segurar o taco pelo centro de percussão no sentido de evitar a desagradável sensação da reação do taco quando ele atinge a bola.) Prove também que, se a força for aplicada em Q, o centro de percussão estará em P.

Solução:
(a) Como $$\sum \vec{F_{ext}}=\vec{F}$$ devemos ter $$I = m(v_{cm} - 0)$$ assim $$v_{cm} = \frac{I}{m}$$

(b) Do princípio do impulso e momento angular $$\sum \vec{\tau_{ext}} = \vec{a} \times \vec{F} \therefore \int_{t_{0}}^{t_{1}}a . Fdt = (mK^2).\omega - 0 $$ $$ \omega = \frac{a.I}{mK^2}$$

(c) Queremos achar a distância b que separa Q do centro de massa, então: $$v_{cm/Q} = v_{cm}- v_{Q } = v_{cm} $$ mas $$ v_{cm} = \omega . b$$ logo $$ \frac{I}{m} = (\frac{a.I}{m K^2}) . b \rightarrow b = \frac{K^2}{a}$$
Supondo que a força seja aplicada em Q, teremos, por analogia $$ \left\{\begin{matrix} v_{cm}= \frac{I}{m} \\ \omega = \frac{b . I}{m K^2} \end{matrix}\right. $$ chamando de p a distância do CM ao novo ponto de percussão, devemos ter: $$ \omega . p = \frac{I}{m} \therefore p = \frac{I}{m} (\frac{m K^2}{Ib}) \rightarrow p =a$$


Questão 3)
10.31 - Alonso vol. I
Um cordão é enrolado no pequeno cilindro da Fig. 10.37. Supondo que o puxemos com uma força F, calcule a aceleração do cilindro. Determine o sentido do movimento. Aqui, $r=3cm$, $R=5cm$, $F=0.1kgf$ e $m=1kg$ (massa do cilindro).

Solução:
Seja A o ponto de contato entre o cilindro e o solo e considerando que não existe deslizamento, $$\tau_{A} = \frac{dL}{dt} \therefore (R-r).F = \frac{d[\frac{mR^2}{2}+mR^2].\omega}{dt}$$ $$(R-r).F = \alpha . \frac{3}{2} m R^2$$ mas $\alpha = \frac{a}{R}$ $$a = \frac{2(R-r).F}{3Rm} \rightarrow a = \frac{2F(1-\frac{r}{R})}{3m}$$
Substituindo os valores do anunciado, sendo que $1Kgf$ equivale a $9,81 \,\, newtons$
$$a=\frac{2\times 0,981(1-\frac{0,03}{0,05})}{3\times1} \rightarrow a = 0,2616 \frac{m}{s^2}$$