Semana 16

Questão 1

$$\frac{\partial L}{\partial q_{s}}=0$$
$$\Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{s}}}=0$$
$$\therefore \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{s}}}=C (constante\; no \;tempo)$$
$$H=\sum_{s=1}^{n}(p_{s}\dot{q_{s}})-L $$
$$\frac{\partial H}{\partial q_{s}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial }{\partial q_{s}}(p_{k}\dot{q_{k}})-\frac{\partial L}{\partial q_{s}}$$
$$\frac{\partial }{\partial q_{s}}(p_{k}\dot{q_{k}})=\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{s}}\dot{q_{k}}+p_{k}\frac{\partial \dot{q_{k}}}{\partial q_{s}}$$
$$=\frac{\partial }{\partial q_{s}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}}\dot{q_{k}}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}}\frac{\partial \dot{q_{k}}}{\partial q_{s}}$$
para$ k\neq s$:
$$\frac{\partial q_{k}}{\partial q_{s}}=0$$
para $k = s$:
$$\frac{\partial q_{s}}{\partial q_{s}}=1$$
Portanto, o somatório fica:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial }{\partial q_{s}}(p_{k}\dot{q_{k}})=\sum_{k=1}^{n}(\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{s}}}+\frac{\partial L}{\partial q_{s}})$$
$$mas \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{s}}}=C (constante\; no \;tempo)$$
$$\therefore \frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{s}}}=0$$
$$e \frac{\partial L}{\partial q_{s}}=0$$
$$\therefore \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial }{\partial q_{s}}(p_{k}\dot{q_{k}})=0$$
$$Como \frac{\partial L}{\partial q_{s}}=0, tem-se \;que:$$
$$\Rightarrow \frac{\partial H}{\partial q_{s}}=0$$

Semana 15

Questão 1)
Refazer pelo formalismo de Lagrange a questão da semana 14.

Solução:

Está refeita na postagem da semana 14. Ademais, nessa postagem estão as duas maneiras de resolver a questão, onde podemos usar tanto a equação de Lagrange quanto as forças generalizadas.


Questão 2) Considere o sistema apresentado na figura abaixo. À esquerda está a massa m1, as roldanas são ideais e a massa da direita é m2. A aceleração da gravidade local g é conhecida.
a) Identifique e represente graficamente as forças aplicadas em cada massa.
b) Indique quais forças são consideradas de vínculo e quais são consideradas forças aplicadas. Quantos são os graus de liberdade do movimento deste sistema?
c) Aplique os formalismos de Newton, de D´Alembert e de Lagrange e obtenha a aceleração de cada massa em cada um dos casos. 

Semana 14

Considere o sistema de duas polias na figura. Use as coordenadas generalizadas mais apropriadas e determine as equações de movimento.

Suponha conhecidas as massas 1,2 e 3, a aceleração local da gravidade, e despreze as massas das 2 polias. Nestas condições, resolva a questão acima pelos seguintes métodos:

Questão 1) Formalismo de d´Alembert.
Questão 2) Formalismo de Newton.
Questão 3) Formalismo de Lagrange.

Questão 1)

Questão 2)

$Equações \;do\; movimento:$
$$m_{1}g-T=m_{1}a_{1} \;(i)$$
$$-\frac{T}{2}+m_{2}g=m_{2}a_{2} \;(ii)$$
$$-\frac{T}{2}+m_{3}g=m_{3}a_{3} \;(iii)$$
$$2a_{1}+a_{2}+a_{3}=0 \;(iv)$$


Fazendo $(i)$,$(ii)$,$(iii)$ em $(iv)$ , temos:
$$T = \frac{8gm_1 m_2 m_3}{m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+4m_{2}m_{3}} \;\;\;\; (v)$$
Fazendo $(v)$ em $(i)$ temos: $$a_{1}=\frac{m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}-4m_{2}m_{3}}{m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+4m_{2}m_{3}}g$$
Fazendo $(v)$ em $(ii)$ temos: $$a_{2}=\frac{m_{1}m_{2}- 3 m_{1}m_{3}+ 4m_{2}m_{3}}{m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+4m_{2}m_{3}}g$$
Fazendo $(v)$ em $(iii)$ temos: $$a_{3}=\frac{m_{1}m_{3}- 3 m_{1}m_{2}+ 4m_{2}m_{3}}{m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+4m_{2}m_{3}}g$$


Questão 3)

Utilizando as coordenadas generalizadas (x,y), tem-se que:
A energia cinética é dada por:
$$T=\frac{1}{2}m_{1}\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}(\dot{x}-\dot{y})^{2}+\frac{1}{2}m_{3}(-\dot{x}-\dot{y})^{2}$$

Utilizaremos também as forças generalizadas nas respectivas coordenadas generalizadas.

Note que se substituirmos na questão 1 o valor de $\ddot{x}$ e de $\ddot{y}$ nas relações entre $a_1$, $a_2$ e $a_3$ encontramos os mesmos valores das acelerações encontrados pelo formalismo de Newton.
Semelhantemente, como encontramos o mesmo sistema de equações nas variáveis $\ddot{x}$ e $\ddot{y}$ na questão 3 e a relação entre $a_1$, $a_2$ e $a_3$ é a mesma podemos concluir que as acelerações obtidas serão as mesmas nos três casos (Formalismo de d´Alembert, Formalismo de Newton e Formalismo de Lagrange )








Agora, vamos utilizar o conceito da Função de Lagrange.

O potencial é dado por:
$$V=-m_{1}gx-m_{2}g(l_{1}-x+y)-m_{3}g(l_{1}+l_{2}-x-y)$$
A Lagrangeana é dada por:
$$L=T-V$$
$\therefore L=\frac{1}{2}m_{1}\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}(\dot{x}-\dot{y})^{2}+\frac{1}{2}m_{3}(-\dot{x}-\dot{y})^{2}$
$-(-m_{1}gx-m_{2}g(l_{1}-x+y)-m_{3}g(l_{1}+l_{2}-x-y))$

Sabemos que a equação de Lagrange é:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$ (onde q é uma das coordenadas generalizadas)

Obtendo-se a equação de Lagrange para a coordenada x (i.e. q=x):
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=(m_{1}+m_{2}+m_{3})\dot{x}+(m_{3}-m_{2})\dot{y}$$
$$\therefore \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=(m_{1}+m_{2}+m_{3})\ddot{x}+(m_{3}-m_{2})\ddot{y}$$
$$\frac{\partial L}{\partial x}=-(-m_{1}+m_{2}+m_{3})g$$
$$\Rightarrow (m_{1}+m_{2}+m_{3})\ddot{x}+(m_{3}-m_{2})\ddot{y}+(-m_{1}+m_{2}+m_{3})g=0$$
$$(Equação \;de \;Lagrange \;para \;a \;coordenada \;x)$$

Obtendo-se a equação de Lagrange para a coordenada y (i.e. q=y):
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=(m_{2}+m_{3})\dot{y}+(-m_{2}+m_{3})\dot{x}$$
$$\therefore \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=(m_{2}+m_{3})\ddot{y}+(-m_{2}+m_{3})\ddot{x}$$
$$\frac{\partial L}{\partial y}=(m_{2}-m_{3})g$$
$$\Rightarrow (m_{2}+m_{3})\ddot{y}+(-m_{2}+m_{3})\ddot{x}+(-m_{2}+m_{3})g=0$$
$$(Equação \;de \;Lagrange \;para\; a \;coordenada\; y)$$